Vírus,
Não é à toa que a palavra vírus é a que mais circula quando o assunto é perigos de computador. Afinal, os vírus são os programas mais utilizados para causar danos, roubar informações, etc.
Os vírus se diferenciam dos outros malwares por sua capacidade de infectar um sistema, fazer cópias de si mesmo e tentar se espalhar para outros computadores, da mesma maneira que um vírus biológico faz.
Vírus são típicos de arquivos anexos de emails. Isso acontece porque quase sempre é necessário que um vírus seja acionado através de uma ação do usuário.
Trojan,
Trojan, forma abreviada de Trojan Horse (cavalo de tróia, em português), é um conjunto de funções desenvolvido para executar ações indesejadas e escondidas. Pode ser, por exemplo, um arquivo que você baixou como um protetor de telas, mas, depois da instalação, diversos outros programas ou comandos também foram executados.
Isso significa que nem todo trojan prejudica um computador, pois, em alguns casos, ele apenas instala componentes dos quais não temos conhecimento, forçadamente.
Daí a relação com o cavalo de tróia, historicamente falando. Você recebe um conteúdo que acha ser uma coisa, mas ele se desenrola em outras coisas que você não esperava ou não foi alertado.
Spywares
Spy, em inglês, significa espião, e foi com essa característica que os spywares surgiram. No começo, os spywares monitoravam páginas visitadas e outros hábitos de navegação para informar os autores. De posse dessas informações, tais autores podiam atingir os usuários com mais eficiência em propagandas, por exemplo.
Porém, com o tempo, os spywares também foram utilizados para roubo de informações pessoais (como logins e senhas) e também para a modificação de configurações do computador (como página home do seu navegador).